Πανελλαδικές Εξετάσεις 2026 • ΓΕΛ

Μαθηματικά Προσανατολισμού: Ανάλυση Θεμάτων & Εκτίμηση Δυσκολίας

Τετάρτη 3 Ιουνίου 2026 | Αναλυτική παρουσίαση και σχολιασμός των 4 θεμάτων

📋 Συνοπτική Κατανομή Μονάδων

Σύνολο: 100 μονάδες | Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες

Ζητήθηκε η απόδειξη ότι αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και f΄(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το Δ.

Παρατήρηση: Κλασική απόδειξη με εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (ΘΜΤ). Αναμενόμενη και σχετικά εύκολη για καλά προετοιμασμένους μαθητές.

Διατύπωση του κριτηρίου παρεμβολής (squeeze theorem / θεώρημα σάντουιτς) για το υπολογισμό ορίων.

Παρατήρηση: Αμιγώς θεωρητικό ερώτημα — αρκεί η ακριβής αποστήθιση της διατύπωσης από το σχολικό εγχειρίδιο.

Ζητήθηκε ο ορισμός της παράγουσας (αρχικής) συνάρτησης σε διάστημα.

Παρατήρηση: Βασικός ορισμός του κεφαλαίου Ολοκλήρωσης. Χαρίζει εύκολες μονάδες.

Παρατήρηση: Το (ε) είναι παγίδα προσήμου — η σωστή παράγωγος της συνεφαπτομένης είναι (σφx)΄ = −1/ημ²x (με αρνητικό πρόσημο). Η πρόταση δίνει +1/ημ²x, άρα είναι λανθασμένη. Απαιτεί προσοχή.

Προσδιορισμός της h = f∘g: h(x) = f(g(x)) = 2·ln(g(x)+1) = 2·ln(x²) = 4·ln(x), για x ∈ [2, +∞).

Απαιτείται επαλήθευση ότι το σύνολο τιμών της g περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού της f — ουσιαστικό βήμα για τις μονάδες. Στα επόμενα ερωτήματα η εκφώνηση δίνει τη συνάρτηση h(x) = ln(x−2), x ∈ (2, +∞).

Για h(x) = ln(x−2), x ∈ (2, +∞): απόδειξη αντιστρεψιμότητας (γνησίως αύξουσα, άρα 1-1) και εύρεση h⁻¹(x) = eˣ + 2 με πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της h, δηλαδή το ℝ.

Χρειάζεται προσοχή στον ορισμό του πεδίου ορισμού της αντίστροφης. Εκεί χάνονται μονάδες.

Υπολογισμός του lim_x→2⁺ [f(x) / (h(x) · (x-2))].

Σχόλιο: Απαιτεί αντικατάσταση των τύπων, αναγνώριση μορφής 0/0 και εφαρμογή ορίου με χρήση γνωστού ορίου ή κανόνα L'Hôpital. Το πιο απαιτητικό σημείο του Β θέματος.

Από την ύπαρξη οριζόντιας ασύμπτωτης ⟹ β = 0. Από τη συνθήκη εφαπτομένης y=x στην αρχή ⟹ f(0)=0 και f΄(0)=1, οπότε α = 1.

Η απόδειξη πρέπει να γίνει από τις αρχές — να αξιοποιηθούν οι συνθήκες βήμα-βήμα.

Για f(x) = x³+x / x² = x + 1/x (x≠0): μελέτη μονοτονίας, ακρότατα, και απόδειξη ότι το σύνολο τιμών είναι το [-1/2, 1/2]. Επιπλέον, πλήθος ριζών της f(x) = λ/2 ανάλογα με τη λ.

Σχόλιο: Το ερώτημα για το πλήθος ριζών (2 μονάδες) είναι γραφική ερμηνεία — απαιτεί σωστή αντιστοίχιση θέσης οριζόντιας ευθείας με τη γραφική παράσταση.

Ορίζεται I(λ) = ∫₀¹ (2x²-1)/(x²+1) dx. Ζητείται απόδειξη ότι I(λ) ∈ [-1/2, 1/2] και υπολογισμός των I(-1), I(0), I(2).

Ευφυής σύνδεση με το προηγούμενο ερώτημα — οι τιμές της I(λ) βρίσκονται στο σύνολο τιμών της f.

Εφαρμογή θεωρήματος Bolzano για ύπαρξη και ΘΜΤ/αυστηρής μονοτονίας για μοναδικότητα.

Τυπική εφαρμογή, αλλά χρειάζεται να αξιοποιηθούν σωστά ΚΑΙ οι δύο συνθήκες για τη g.

Από ισότητα πλευρικών παραγώγων στο x=0 προκύπτει κ = 3. Σύντομο αλλά ουσιαστικό ερώτημα.

i) Απόδειξη f(x) > 0 για x ∈ (0, π/2) — εργασία με ανισότητες τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
ii) Απόδειξη ότι η 3f(x) = π έχει ακριβώς μια ρίζα x₂ στο (0, π/2).

Σχόλιο: Απαιτεί συνδυασμό γνώσεων — Bolzano + αυστηρή μονοτονία. Χρονοβόρο ερώτημα.

i) f(x) < 0 για x ∈ (x₁, 0) — (3 μον.)
ii) Ισεμβαδικά χωρία που χωρίζει ο άξονας y → απόδειξη ολοκληρωτικής ταυτότητας που περιλαμβάνει ∫ x·g(x)dx και ln2 — (7 μον.)

💡 Συμπέρασμα

Τα φετινά θέματα Μαθηματικών Προσανατολισμού αξιολογούνται συνολικά ως απαιτητικά — ειδικά το Θέμα Δ ξεπερνά σε δυσκολία αντίστοιχα θέματα των τελευταίων ετών. Υποψήφιοι που είχαν εστιάσει στη θεωρία και τις αποδείξεις (Θέμα Α) και στη σύνθεση συναρτήσεων (Θέμα Β) είναι πιθανό να έχουν διαφυλάξει ικανοποιητική βαθμολογία.

Τα μαθηματικά παραδοσιακά «βγάζουν» διαφορά στους υποψηφίους των επιστημονικών κλάδων. Αναμένονται χαμηλότερες βάσεις στις Ιατρικές και Πολυτεχνικές Σχολές σε σχέση με το 2025, εφόσον επαληθευτεί η υψηλή δυσκολία των θεμάτων.

EduPlus.gr — Εκπαιδευτικές Ειδήσεις & Ανάλυση | Συντακτική Ομάδα EduPlus.gr | 3 Ιουνίου 2026
Το άρθρο βασίζεται στα επίσημα θέματα του Υπουργείου Παιδείας. Οι εκτιμήσεις είναι ενδεικτικές.